Question

3．如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線l₁、l₂分別與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A、B、P、Q四點(diǎn)，其中A、P兩點(diǎn)在第一象限，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）．
（1）求k值及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，3），求a值及四邊形APBQ的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分別反比例圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k=3×1=3，再根據(jù)正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到a=1，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），再根據(jù)正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，-3），由于OA=OB，OP=OQ，則根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形APBQ為平行四邊形，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB，PQ，可得到即AB=PQ，于是可判斷四邊形APBQ為矩形，再計(jì)算出PA和PB，然后計(jì)算矩形APBQ的面積．

解答 解：（1）把A（3，1）代入=$\frac{k}{x}$得k=3×1=3，
∵經(jīng)過原點(diǎn)的直線l₁與雙曲線=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A、B、
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）；
（2）把P（a，3）代入y=$\frac{3}{x}$得3a=3，解得a=1，
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∵經(jīng)過原點(diǎn)的直線l₂與雙曲線=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于P、Q點(diǎn)，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，-3），
∵OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PQ²=（1+1）²+（3+3）²=40，
∴AB=PQ，
∴四邊形APBQ為矩形，
∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3-1）²+（1-3）²=8，
∴PB=4$\sqrt{2}$，PQ=2$\sqrt{2}$，
∴四邊形APBQ的面積=PA•PB=2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、中心對(duì)稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)；會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)．