Question

【題目】如圖，在中，，是角平分線(xiàn)，交于，的外接圓與邊相交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交于，交于，交于，連接．

（1）求證：是的切線(xiàn)；

（2）若，，求的半徑；

（3）在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6；（3）

【解析】

（1）連結(jié)OD，根據(jù)AD是角平分線(xiàn)，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求出k的值即可；
（3）設(shè)FG與AE的交點(diǎn)為M，連結(jié)AG，利用三角函數(shù)和相似三角形結(jié)合勾股定理解題．

（1）證明：連結(jié)，

∵，

∴是的直徑，即在上，

∵是角平分線(xiàn)，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

∴是的切線(xiàn)；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

設(shè)，則，

在中，由勾股定理得，

解得，，（舍），（注：也可由得），

∴，即的半徑為6；

（3）解：連結(jié)，則，．

∴，

即，，

∴，

∴

∴，

∵，

∴，，

即，．

∴，，

∵，，

∴．

∴，

∴．

∴．