Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=-

1

3

x+b交y軸于點(diǎn)A（0，1），交x軸于點(diǎn)B．直線x=1交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，P是直線x=1上一動點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)P（1，n）．
（1）求直線AB的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求△ABP的面積（用含n的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)S_△ABP=2時，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入直線AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長，即可求得△BPD和△PAB的面積，二者的和即可求得；
（3）當(dāng)S_△ABP=2時，

3

2

n-1=2，解得n=2，則∠OBP=45°，然后分A、B、P分別是直角頂點(diǎn)求解．

解答：解：（1）∵y=-

1

3

x+b經(jīng)過A（0，1），
∴b=1，
∴直線AB的解析式是y=-

1

3

x+1．
當(dāng)y=0時，0=-

1

3

x+1，解得x=3，
∴點(diǎn)B（3，0）．

（2）過點(diǎn)A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，∵x=1時，y=-

1

3

x+1=

2

3

，P在點(diǎn)D的上方，
∴PD=n-

2

3

，S△APD=

1

2

PD•AM=

1

2

×1×(n-

2

3

)=

1

2

n-

1

3

由點(diǎn)B（3，0），可知點(diǎn)B到直線x=1的距離為2，即△BDP的邊PD上的高長為2，
∴S△BPD=

1

2

PD×2=n-

2

3

，
∴S△PAB=S△APD+S△BPD=

1

2

n-

1

3

+n-

2

3

=

3

2

n-1；

（3）當(dāng)S_△ABP=2時，

3

2

n-1=2，解得n=2，
∴點(diǎn)P（1，2）．
∵E（1，0），
∴PE=BE=2，
∴∠EPB=∠EBP=45°．
第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，
過點(diǎn)C作CN⊥直線x=1于點(diǎn)N．
∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，
∴∠NPC=∠EPB=45°．
又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，
∴△CNP≌△BEP，
∴PN=NC=EB=PE=2，
∴NE=NP+PE=2+2=4，
∴C（3，4）．
第2種情況，如圖2∠PBC=90°，BP=BC，
過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F．
∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，
∴∠CBF=∠PBE=45°．
又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP，
∴△CBF≌△PBE．
∴BF=CF=PE=EB=2，
∴OF=OB+BF=3+2=5，
∴C（5，2）．
第3種情況，如圖3，∠PCB=90°，CP=EB，
∴∠CPB=∠EBP=45°，
在△PCB和△PEB中，

CP=EB ∠CPB=∠EBP BP=BP

∴△PCB≌△PEB（SAS），
∴PC=CB=PE=EB=2，
∴C（3，2）．
∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，4）或（5，2）或（3，2）．

點(diǎn)評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得n的值，判斷∠OBP=45°是關(guān)鍵．