Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為平面內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，作正方形ABCD（點(diǎn)A、B、C、D順時(shí)針排列），即稱(chēng)正方形ABCD為以A為圓心，OA為半徑的⊙A的“友好正方形”．
（1）如圖1，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），則⊙A的半徑為$\sqrt{2}$．
（2）如圖2，點(diǎn)A在雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上，它的橫坐標(biāo)是2，正方形ABCD是⊙A的“友好正方形”，試判斷點(diǎn)C與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若點(diǎn)A是直線y=-x+2上一動(dòng)點(diǎn)，正方形ABCD為⊙A的“友好正方形”，且正方形ABCD在⊙A的內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OA．在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA即可．
（2）求出⊙A的半徑以及AC的長(zhǎng)，即可判斷，當(dāng)AC=OA時(shí)，點(diǎn)C在⊙A上，當(dāng)AC＞OA時(shí)，點(diǎn)C在⊙A外，當(dāng)AC＜OA時(shí)，點(diǎn)C在⊙A內(nèi)．
（3）由題意可知點(diǎn)C（0，2），根據(jù)AC＜OA，即可即可問(wèn)題，注意m≠0．

解答 解：（1）如圖1中，連接OA．

∵A（1，1），AB⊥y軸，
∴AB=OB=1，∠ABO=90°，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴⊙A的半徑為$\sqrt{2}$．
故答案為$\sqrt{2}$；

（2）如圖2中，

∵A（2，$\frac{1}{2}$），∴O A=$\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$
∵AC=$2\sqrt{2}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{32}}}{2}$
∴O A＜A C，
∴點(diǎn)C在⊙A外．
（或如圖，利用勾股定理直觀分析：∵OB＜BC，AB=AB，∴O A＜A C也可以） 

（3）如圖3中，

∵點(diǎn)A是直線y=-x+2上一動(dòng)點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸是夾角為45°，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)C（0，2），
∴當(dāng)AC＜OA時(shí)，正方形ABCD在⊙A內(nèi)部，
∵AC=OA時(shí)，點(diǎn)A（1，1），
∴m＜1時(shí)，AC＜OA，
∵m=0時(shí)，正方形不存在，
∴m＜1且m≠0時(shí)，正方形ABCD在⊙A內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握當(dāng)AC=OA時(shí)，點(diǎn)C在⊙A上，當(dāng)AC＞OA時(shí)，點(diǎn)C在⊙A外，當(dāng)AC＜OA時(shí)，點(diǎn)C在⊙A內(nèi)，屬于中考?jí)狠S題．