Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）已知點(diǎn)P是四邊形ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①若點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止．當(dāng)△BEP為等腰三角形時(shí)，符合要求的點(diǎn)P有______個(gè)．
②若點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，試求：當(dāng)t等于多少時(shí)，△BEP為等腰三角形？

Answer 1

（1）證明：在△ABC與△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AB=CD．
又∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

解：（2）①當(dāng)P在BC上時(shí)，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)P使△BEP是等腰三角形；
當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；
當(dāng)P在AD上時(shí)，有一個(gè)符合條件的點(diǎn)P使△BEP是等腰三角形；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)；
故答案是：4；

②解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD間的最短距離是4cm，
∵AB=3cm，AE=AB，
∴AE=1cm，BE=2cm，
設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，△BEP是等腰三角形，
當(dāng)P在BC上時(shí)，
①BP=EB=2cm，
t=2時(shí)，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∴BM=ME=BE=1cm
∵cos∠ABC===，
∴BP=cm，
t=時(shí)，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，則BP=2BN，
∴cosB==，
∴=，
BN=cm，
∴BP=，
∴t=時(shí)，△BEP是等腰三角形；
當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD間的最短距離是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
當(dāng)P在AD上時(shí)，只能BE=EP=2cm，
過(guò)P作PQ⊥BA于Q，
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
設(shè)PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）²+（4x）²=2²，
∴x=，
AP=5x=cm，
∴t=5+5+3-=，
答：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)2s或s或s或s時(shí)，△BEP為等腰三角形．
分析：（1）通過(guò)全等三角形△ABC≌△CDA的對(duì)應(yīng)邊相等推知AB=DC；然后由平行線的判定知AB∥DC，則由“由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論；
（2）求出AC，當(dāng)P在BC上時(shí)，①BP=EB=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根據(jù)cosB求出BP，③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，根據(jù)cosB求出BN；當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；當(dāng)P在AD上時(shí)，過(guò)P作PN⊥BA于N，證△QAP∽△ABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，設(shè)PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）²+（4x）²=2²，求出方程的解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定．全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．