Question

6．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+$\frac{1}{2}PC$的最小值和PC-$\frac{1}{2}PC$的最大值；
（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+$\frac{2}{3}PC$的最小值為$\sqrt{106}$，PD-$\frac{2}{3}PC$的最大值為$\sqrt{106}$．
（3）如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B=60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+$\frac{1}{2}PC$的最小值為$\sqrt{37}$，PD-$\frac{1}{2}PC$的最大值為$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$，推出PG=$\frac{1}{2}$PC，推出PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小，最小值為DG=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．由PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大（如圖2中），最大值為DG=5；
（2）如圖3中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=4．解法類似（1）；
（3）如圖4中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法類似（1）；

解答 解：（1）如圖1中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1．

∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{2}{1}$=2，$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PG=$\frac{1}{2}$PC，
∴PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小，最小值為DG=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∵PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG，
當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大（如圖2中），最大值為DG=5．


（2）如圖3中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=4．

∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{PB}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{2}{3}$，
∴PG=$\frac{2}{3}$PC，
∴PD+$\frac{2}{3}$PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+$\frac{2}{3}$PC的值最小，最小值為DG=$\sqrt{{5}^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{106}$．
∵PD-$\frac{2}{3}$PC=PD-PG≤DG，
當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大，最大值為DG=$\sqrt{106}$．
故答案為$\sqrt{106}$，$\sqrt{106}$

（3）如圖4中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．

∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{2}{1}$=2，$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$，∵∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PG=$\frac{1}{2}$PC，
∴PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小，最小值為DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD•sin60°=2$\sqrt{3}$，CF=2，
在Rt△GDF中，DG=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（5）^{2}}$=$\sqrt{37}$
∵PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG，
當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大（如圖2中），最大值為DG=$\sqrt{37}$．
故答案為$\sqrt{37}$，$\sqrt{37}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．