Question

如圖（1），在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．
（1）求證：AE=BC；
（2）如圖（2），過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，連結(jié)CE′，BF′，求證：CE′=BF′；
（3）在圖（2）的旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=

 

時(shí)，CE′∥AB．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC=∠C=72°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE=∠CBE=36°，然后求出∠BEC=72°，從而得到∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可；
（2）求出AE=AF，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“邊角邊”證明△CAE′和△BAF′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（3）把△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AE′與過點(diǎn)C與AB平行的直線相交于M、N，然后分兩種情況，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可．

解答：（1）證明：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=

1

2

×72°=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC；

（2）證明：∵AB=AC，EF∥BC，
∴AE=AF，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，

AE′=AF′ ∠E′AC=∠F′AB AB=AC

，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′=BF′；

（3）解：存在CE′∥AB．
由（1）可知AE=BC，
所以，在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑（圓�。┡c過點(diǎn)C且與AB平行的直線l相交于點(diǎn)M、N，如圖，
①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，四邊形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°-72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時(shí)，CE′∥AB．
故答案為：36°或72°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用角的度數(shù)相等得到相等的角是解題的關(guān)鍵，（3）從圓弧的角度考慮求解是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分情況討論．