Question

12．拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)）且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（8，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線L交拋物線于點(diǎn)Q，交BD于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形？
（3）位于第四象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△BCN的面積最大？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，及△BCN面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式；
（2）由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程，求得m的值；再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQMD的形狀；
（3）先判斷出點(diǎn)N在平行于BC且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的位置，確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)，用面積和差求出三角形BCN的面積．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得，$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，
（2）（2）∵C（0，-4）
∴由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b'，則$\left\{\begin{array}{l}{b'=4}\\{8k+b'=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b'=4．
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x軸，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如圖，當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（ $\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4）．
化簡(jiǎn)得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合題意舍去），m₂=4．
∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；
（3）存在，
理由：當(dāng)過點(diǎn)N平行于直線BC的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△BCN的面積最大
∵B（8，0），C（0，-4），
∴BC=4$\sqrt{5}$
直線BC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4，
設(shè)過點(diǎn)N平行于直線BC的直線L解析是為y=$\frac{1}{2}$x+n①，
∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4②，
聯(lián)立①②得，x²-8x-4（n+4）=0，③
∴△=64+16（n+4）=0，
∴n=-8，
∴直線L解析式為y=$\frac{1}{2}$x-8，
將n=-8代入③中得，x²-8x+16=0
∴x=4，∴y=-6，
∴N（4，-6），
如圖，

過點(diǎn)N作NG⊥AB，
∴S_△BCN=S_{四邊形OCNG}+S_△MNG-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$（4+6）×4+$\frac{1}{2}$（8-4）×6-$\frac{1}{2}$×8×6
=16．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合性，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，菱形的對(duì)稱性，待定系數(shù)法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，幾何圖形面積的計(jì)算方法，方程思想和分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．