Question

已知：如圖1，正方形ABCD中，對角線的交點為O．
（1）E是AC上的一點，過點A作AG⊥BE于G，AG、BD交于點F．求證：OE=OF．
（2）若點E在AC上的延長線上（如圖2），過點A做AG⊥BE交EB的延長線于G，AG的延長線交BD于點F，其它條件不變，OE=OF還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得AB=BC，∠ABC=90°，∠ABF=∠BCE=45°，OB=OC，又由AG⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠BAF=∠CBE，即可證得△ABF≌△BCE，可得BF=CE，繼而可證得OE=OF．
（2）證明方法同（1），可求得∠ABF=∠BCE=135°，利用同角的余角相等，即可得∠BAF=∠CBE，即可證得△ABF≌△BCE，可得BF=CE，繼而可證得OE=OF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABF=∠BCE=45°，OB=OC，
∴∠CBE+∠ABG=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠BAF+∠ABG=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，

∠BAF=∠CBE AB=BC ∠ABF=∠BCE

，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BF=CE，
∴OB-BF=OC-CE，
即OE=OF；

（2）OE=OF成立．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ACB=45°，OB=OC，
∴∠ABF=∠BCE=135°，
∴∠CBE+∠ABG=180°-∠ABC=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠BAF+∠ABG=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
∵

∠BAF=∠CBE AB=BC ∠ABF=∠BCE

，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BF=CE，
∴OB+BF=OC+CE，
即OE=OF．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意證得△ABF≌△BCE是解此題的關(guān)鍵．