Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，直線l與x軸、OA、AB分別交于點(diǎn)C、D、E，OC=AE．過點(diǎn)E作EF∥OA，交x軸于點(diǎn)F．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$）（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）求證：CO=OF；
（3）若AD=EF，求直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AM⊥OB于M．求出OM、AM即可解決問題．
（2）如圖2中，作EN∥OB交OA于N．首先證明△AEN是等邊三角形，再證明四邊形ONEF是平行四邊形即可解決問題．
（3）首先證明AN=OD=DN=AE=2，推出D（1，$\sqrt{3}$），E（4，2$\sqrt{3}$），設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解方程組即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作AM⊥OB于M．

∵OA=AB，AM⊥OB，
∴OM=BM=3，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$）．
故答案為（3，3$\sqrt{3}$）

（2）如圖2中，作EN∥OB交OA于N．

∵△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵EN∥OB，
∴∠ANE=∠AOB=60°，∠AEN=∠ABO=60°，∠DNE=∠COD，
∴△AEN是等邊三角形，
∴AE=EN=CO，
∵EN∥OF，EF∥ON，
∴四邊形ONEF是平行四邊形，
∴OF=EN=OC，
∴CO=OF．

（3）如圖2中，在△DNE和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠DOC}\\{∠NDE=∠ODC}\\{EN=OC}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△DOC，
∴DN=OD，
∵AD=EF=ON，
∴AN=OD=DN=AE=2，
∴D（1，$\sqrt{3}$），E（4，2$\sqrt{3}$），設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．