Question

8．已知直線y=$\frac{1}{2}$x+m與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+3過A、C兩點，交x軸另一點B．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，P、Q兩點在第二象限的拋物線上，且關于對稱軸對稱，點F為線段AP上一點，2∠PQF+∠PFQ=90°，射線QF與過點A且垂直x軸的直線交于點E，AP=QE，求PQ長；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點D在QP的延長線上，DP：DQ=1：4，點K為射線AE上一點連接QK，過點D作DM⊥QK垂足為M，延長DM交AB于點N，連接AM，當∠AMN=45°時，過點A作AR⊥DN交拋物線于點R，求R點坐標．

Answer 1

分析 （1）先求點C的坐標，接著求出一次函數(shù)的解析式，進而可得A點坐標，然后將A點坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出b；
（2）由于P、Q關于拋物線對稱軸對稱，故PQ與x軸平行，所以只需求P、Q橫坐標即可求出PQ長度．延長QP、AE交于點H，易證△HAP≌QEH，從而QH=AH，過點Q作QK⊥AB于點G，則四邊形AGQH是正方形，設出Q點坐標，利用QH=QG建立方程即可求出P、Q兩點坐標，從而得出答案；
（3）在（2）的條件下，過點A作AG⊥AM交DN延長線于點G，易證△AKM≌△ANG，從而AK=AN，過點D作DL⊥AB于點L，則四邊形HALD是矩形，易得△HKQ≌△LND，進而求得HK=LN=2，設出R點坐標，由tan∠HQK=tan∠OAR=$\frac{HK}{HQ}=\frac{2}{5}$建立方程即可求出R點坐標．

解答 解：（1）∵當x=0時，$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+3=3$，
∴C（0，3），
將點C代入$y=\frac{1}{2}x+m$得m=3，
當y=0時，x=-6，
∴A（-6，0），
將點A代入$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+3$得$b=-\frac{5}{2}$，
∴拋物線的解析式為$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3$；
（2）如圖2，延長QP、AE交于點H，

∵點P、Q關于對稱軸對稱，
∴QP∥x軸，
∵AE⊥x軸，
∴∠H=90°，
∵2∠PQF+∠PFQ=90°，
∴∠PQF+∠PFQ=90°-∠PQF=∠HEQ=∠HAP+∠EFA，
∴∠PQF=∠HAP，
在△HAP和△QEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{QE=AP}\\{∠HAP=∠PQF}\\{∠H=∠H}\end{array}\right.$
∴△HAP≌△QEH，
∴QH=AH，
過點Q作QG⊥AB于點G，
∴四邊形AGQH是正方形，
設點Q（t，$-\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{5}{2}t+3$），
∴QH=t+6，
QG=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{5}{2}t+3$，
∴t+6=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{5}{2}t+3$，
解得：t=-1或t=-6（舍去），
∴Q（-1，5）；
∵點P、Q關于x=-$\frac{5}{2}$對稱，
∴點P（-4，5），
∴PQ=3；
（3）∵DP：DQ=1：4，
∴DP=1，D（-5，5），HD=1，
∵DN⊥QK，∠AMN=45°，過點A作AG⊥AM交DN延長線于點G，如圖3，

∴AM=AG，
∴KMN+∠KAN=180°，
∴∠MKA+∠MNA=180°，∠ANG+∠MNA=180°，
∴∠MKA=∠ANG，
∵KAN=∠MAG=90°，
∴∠MAK=∠NAG，
在△AKM和△ANG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAK=∠NAG}\\{∠MKA=∠ANG}\\{AM=AG}\end{array}\right.$
∴△AKM≌△ANG，
∴AK=AN，
過點D作DL⊥AB于點L，四邊形HALD是矩形，
∴HD=AL=1，AH=DL=QH，∠HKQ=∠DNL，
在△HKQ和△LND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HKQ=∠DNL}\\{QH=DL}\\{∠H=∠DLN}\end{array}\right.$
∴△HKQ≌△LND，
∴HK=LN，
設HK=LN=m，
則AN=AK=m+1，
∴AH=m+1+m=5，
∴m=2，
∵∠HQK=∠OAR，
∴tan∠HQK=tan∠OAR=$\frac{HK}{HQ}=\frac{2}{5}$，
設R（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+3$），
過點R作RS⊥AB于點S，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+3}{m+6}=\frac{2}{5}$，
∴m=$\frac{1}{5}$或m=-6（舍），
∴R（$\frac{1}{5}$，$\frac{62}{25}$）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程序的解法、正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)等知識點，綜合性很強，難度較大．本題主要涉及較多的幾何知識，因此熟練掌握全等三角形、相似三角形、特殊四邊形等基本幾何圖形的性質(zhì)是解答本題的關鍵．