Question

如圖，直線y=-

4

3

x+8與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運動，當(dāng)一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t≤3）．
（1）寫出A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)t為何值時，△AQP的面積最大？
（3）當(dāng)t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）分別令y=0，x=0求解即可得到點A、B的坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出點Q到AP的距離，然后利用三角形的面積列式整理即可得解；
（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，利用∠OAB的余弦列式計算即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則-

4

3

x+8=0，
解得x=6，
x=0時，y=y=8，
∴OA=6，OB=8，
∴點A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10，
∵點P的速度是每秒2個單位，點Q的速度是每秒1個單位，
∴AP=2t，
AQ=AB-BQ=10-t，
∴點Q到AP的距離為AQ•sin∠OAB=（10-t）×

8

10

=

4

5

（10-t），
∴△AQP的面積S=

1

2

×2t×

4

5

（10-t）=-

4

5

（t²-10t）=-

4

5

（t-5）²+20，
∵-

4

5

＜0，0＜t≤3，
∴當(dāng)t=3時，△AQP的面積最大，S_最大=-

4

5

（3-5）²+20=

84

5

；

（3）若∠APQ=90°，則cos∠OAB=

AP

AQ

，
∴

2t

10-t

=

6

10

，
解得t=

30

13

，
若∠AQP=90°，則cos∠OAB=

AQ

AP

，
∴

10-t

2t

=

6

10

，
解得t=

50

11

，
∵0＜t≤3，
∴t的值為

30

13

，
此時，OP=6-2×

30

13

=

18

13

，
PQ=AP•tan∠OAB=（2×

30

13

）×

8

6

=

80

13

，
∴點Q的坐標(biāo)為（

18

13

，

80

13

），
綜上所述，t=

30

13

秒時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，此時點Q的坐標(biāo)為（

18

13

，

80

13

）．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點的求法，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，（2）要注意根據(jù)t的取值范圍求三角形的面積的最大值，（3）難點在于要分情況討論．