Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線OC：y=x交于點C．
（1）若直線AB解析式為y=-2x+12，①求點C的坐標(biāo)； ②求△OAC的面積；
（2）如圖1，若OA=4，△OAC的面積為6，求直線AB的解析式；
（3）如圖2，在（2）的條件下，作∠AOC的平分線ON，若AB⊥ON，垂足為E，P、Q分別為線段OA、OE上的動點，連結(jié)AQ與PQ，試探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）①聯(lián)立兩直線解析式，求出交點C坐標(biāo)即可；②由直線y=-2x+12求出點A的坐標(biāo)，確定出OA的長，高為C的縱坐標(biāo)，求出三角形OAC面積即可；
（2）由OA的長，以及三角形OAC的面積，求出C的縱坐標(biāo)，代入y=x確定出C橫坐標(biāo)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線AB解析式；
（3）由ON為角平分線，得到一對角相等，再由AB與ON垂直，得到一對直角相等，再由OE為公共邊，利用ASA得到三角形AOE與三角形COE全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到CE=AE，OA=OC，過C作CP垂直于OA，交OE于點Q，此時AQ+PQ最小，求出這個最小值即可．

解答 解：（1）①聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+12}\\{y=x}\end{array}\right.$，
消去y得：x=-2x+12，
解得：x=4，
把x=4代入得：y=4，
∴C（4，4）；
②對于直線AB解析式y(tǒng)=-2x+12，
令x=0，得到y(tǒng)=12；令y=0，得到x=6，
∴A（6，0），B（0，12），即OA=6，
則S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•y_{點C縱坐標(biāo)}=12；
（2）∵OA=4，△AOC面積為6，
∴點C縱坐標(biāo)為3，
把y=3代入y=x得：x=3，即C（3，3），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A（4，0），C（3，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-3，b=12，
則直線AB解析式為y=-3x+12；
（3）∵OE平分∠AOC，OE⊥AC，
∴∠AOE=∠COE，∠AEO=∠CEO=90°，
在△AOE和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COE}\\{OE=OE}\\{∠AEO=∠CEO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴AE=CE，即點A與點C關(guān)于OE對稱，OC=OA=4，
過C作CP⊥OA，交OE于點Q，此時AQ+PQ最小，如圖所示，

∵C（3，3），即OP=CP=3，
∴（AQ+PQ）_min=CQ+PQ=CP=3．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：兩直線的交點坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，對稱的性質(zhì)，以及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運算法則與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．