Question

如圖1，已知直線y=2x分別與雙曲線y=

8

x

、y=

k

x

（x＞0）交于P、Q兩點(diǎn)，且OP=2OQ．
（1）求k的值．
（2）如圖2，若點(diǎn)A是雙曲線y=

8

x

上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于點(diǎn)B、C，連接BC．請你探索在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，△ABC的面積是否變化？若不變，請求出△ABC的面積；若改變，請說明理由；
（3）如圖3，若點(diǎn)D是直線y=2x上的一點(diǎn)，請你進(jìn)一步探索在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,解分式方程,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再從條件OP=2OQ出發(fā)，構(gòu)造相似三角形，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，就可求出k的值．
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），易得b=

8

a

，結(jié)合條件可用a的代數(shù)式表示點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線段AB、AC的長，就可算出△BAC的面積是一個(gè)定值．
（3）以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形可分成兩類：①AC為平行四邊形的一邊，②AC為平行四邊形的對角線；然后利用平行四邊形的性質(zhì)建立關(guān)于a的方程，即可求出a的值，從而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過點(diǎn)Q作QE⊥x軸，垂足為E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，如圖1，
聯(lián)立

y=2x y= 8 x

，
解得：

x=2 y=4

或

x=-2 y=-4

．
∵x＞0，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．
∴OF=2，PF=4．
∵QE⊥x軸，PF⊥x軸，
∴QE∥PF．
∴△OEQ∽△OFP．
∴

OE

OF

=

EQ

FP

=

OQ

OP

．
∵OP=2OQ，
∴OF=2OE=2，PF=2EQ=4．
∴OE=1，EQ=2．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2）．
∵點(diǎn)Q（1，2）在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=1×2=2．
∴k的值為2．
（2）如圖2，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），
∵點(diǎn)A（a，b）在雙曲線y=

8

x

上，
∴b=

8

a

．
∵．AB∥x軸，AC∥y軸，
∴x_C=x_A=a，y_B=y_A=b=

8

a

．
∵點(diǎn)B、C在雙曲線y=

2

x

上，
∴x_B=

2

8 a

=

a

4

，y_C=

2

a

．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

a

4

，

8

a

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，

2

a

）．
∴AB=a-

a

4

=

3a

4

，AC=

8

a

-

2

a

=

6

a

．
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC
=

1

2

×

3a

4

×

6

a

=

9

4

．
∴在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，△ABC的面積不變，始終等于

9

4

．
（3）①AC為平行四邊形的一邊，
Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)Q的右邊時(shí)，如圖3，
∵四邊形ACBD是平行四邊形，
∴AC∥BD，AC=BD．
∴x_D=x_B=

a

4

．
∴y_D=2x_D=

a

2

．
∴DB=

a

2

-

8

a

．
∵AC=

8

a

-

2

a

=

6

a

，
∴

6

a

=

a

2

-

8

a

．
解得：a=±2

7

．
經(jīng)檢驗(yàn)：a=±2

7

是該方程的解．
∵a＞0，
∴a=2

7

．
∴b=

8

a

=

4 7

7

．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2

7

，

4 7

7

）．
Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)Q的左邊且點(diǎn)C在點(diǎn)Q的右邊時(shí)，如圖4，
∵四邊形ACDB是平行四邊形，
∴AC∥BD，AC=BD．
∴x_D=x_B=

a

4

．
∴y_D=2x_D=

a

2

．
∴DB=

8

a

-

a

2

．
∵AC=

6

a

，
∴

6

a

=

8

a

-

a

2

，
解得：a=±2．
經(jīng)檢驗(yàn)：a=±2是該方程的解．
∵a＞0，
∴a=2．
∴b=

8

a

=4．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）．
②AC為平行四邊形的對角線，
此時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C都在點(diǎn)Q的左邊，如圖5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴y_D=y_C=

2

a

．
∴x_D=

yD

2

=

1

a

．
∴CD=

1

a

-a．
∵AB=a-

a

4

=

3a

4

，
∴

3a

4

=

1

a

-a．
解得：a=±

2 7

7

．
經(jīng)檢驗(yàn)：a=±

2 7

7

是該方程的解．
∵a＞0，
∴a=

2 7

7

．
∴b=

8

a

=4

7

．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

2 7

7

，4

7

）．
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2

7

，

4 7

7

）或（2，4）或（

2 7

7

，4

7

）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、解分式方程等知識，還考查了分類討論的思想，有一定的綜合性．