Question

19．已知關于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是k≠$\frac{1}{2}$且k≠0；
（2）求證：無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k≠0且△＞0，即（2k+1）²-4k×2＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可；
（2）分k=0，為一元一次方程；k≠0，利用根的判別式整理得出答案即可．

解答 （1）解：∵關于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴k≠0且△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²＞0，
∴k≠$\frac{1}{2}$且k≠0．
（2）證明：∵當k=0，為x+2=0一元一次方程，解為x=-2；
當k≠0，△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²≥0，
∴無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．