Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，點(diǎn)P在AB上，AP=6．點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F同時(shí)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E隨之停止．在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．

（1）當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是　3　；當(dāng)t=4時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是　8　；

（2）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【考點(diǎn)】相似形綜合題；等腰三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

【分析】（1）當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)PE=2t，PF=t即可求出EF的值，當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后返回，PE=2AP﹣2t，PF=t，由此即可求出EF的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)H在線段AC上時(shí)，可求出t=，可分兩種情況討論：當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=S_{正方形EFGH}=EF²，只需用t的代數(shù)式表示出EF即可解決問(wèn)題；當(dāng)＜t≤3時(shí)，S=S_{五邊形EFGMN}=S_{正方形EFGH}﹣S_△MHN=EF²﹣HN•HM，只需用t的代數(shù)式分別表示出EF、HN、HM即可解決問(wèn)題．

【解答】解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，PE=2×1=2，PF=1×1=1，EF=EP+PF=2+1=3．

當(dāng)t=4時(shí)，PE=12﹣2×4=4，PF=1×4=4，EF=EP+PF=4+4=8．

故答案分別為：3、8；

（2）當(dāng)點(diǎn)H在線段AC上時(shí)，

則有AE=HE=EF，即6﹣2t=3t，

解得：t=．

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，

EF=EP+PF=2t+t=3t，

則S=9t²；

②當(dāng)＜t≤3時(shí)，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=45°．

∵四邊形EFGH是正方形，

∴HE=EF=3t，∠H=∠HEF=90°，

∴∠ANE=90°﹣45°=45°，

∴∠ANE=∠A=45°，

∴NE=AE=AP﹣EP=6﹣2t，

∴HN=HE﹣NE=3t﹣（6﹣2t）=5t﹣6．

∵∠HNM=∠ANE=45°，

∴∠HMN=90°﹣45°=45°，

∴∠HMN=∠HNM=45°，

∴HM=HN=5t﹣6，

∴S=S_{正方形EFGH}﹣S_△NHM

=（3t）²﹣（5t﹣6）²

=﹣t²+30t﹣18．

綜上所述：S與t的函數(shù)關(guān)系式為

S=．