Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，﹣n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x²﹣2x﹣3=0的兩根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側(cè)），連接OD、BD．
①當(dāng)△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；
②求△BOD 面積的最大值，并寫出此時點D的坐標．

Answer 1

解：（1）解方程x²﹣2x﹣3=0，得 x₁=3，x₂=﹣1。
∵m＜n，∴m=﹣1，n=3。∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）。
∵拋物線過原點，設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx。
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為。
（2）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b。
∴，解得：。
∴直線AB的解析式為。
∴C點坐標為（0，）。
∵直線OB過點O（0，0），B（3，﹣3），∴直線OB的解析式為y=﹣x。
∵△OPC為等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。
設(shè)P（x，﹣x）。
（i）當(dāng)OC=OP時，，解得（舍去）。
∴P₁（）。
（ii）當(dāng)OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，∴P₂（）。
（iii）當(dāng)OC=PC時，由，解得（舍去）。
∴P₃（）。
綜上所述，P點坐標為P₁（）或P₂（）或P₃（）。
②過點D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H．

設(shè)Q（x，﹣x），D（x，）．
S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ=DQ•OG+DQ•GH
=DQ（OG+GH）
=
=。
∵0＜x＜3，∴當(dāng)時，S取得最大值為，此時D（）。

解析