Question

15．如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且AB=4，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點，若⊙O的半徑為5，當GE+FH的值最大時，弦BC的長等于（　�。�

• A． 8
• B． 10
• C． 2$\sqrt{21}$或8
• D． 2$\sqrt{21}$或10

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出當GH最長為直徑時，GE+FH的值最大，由三角形中位線定理得出GH⊥BC，CF=BF，再根據(jù)勾股定理得出CF，從而得出弦BC的長．

解答 解：分兩種情況：
①如圖1，
∵AB=4，點E、F分別為AC、BC的中點，
∴EF=2，
∴當GH最長為直徑時，GE+FH的值最大，
∴GH⊥BC，
∴CF=BF，
∵OC=5，
∴CF=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴BC=2$\sqrt{21}$；
②如圖2，
∵AB=4，點E、F分別為AC、BC的中點，
∴EF=2，
∴當GH最長為直徑時，GE+FH的值最大，
∴GH⊥AC，
∴CE=AE，
∵OC=5，
∴BC=10；
∴BC=10或2$\sqrt{21}$，
故選D．

點評 本題考查了三角形的中位線定理以及垂徑定理，注意分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．