Question

6．P是正方形ABCD的BC邊上一點，連結AP，AB=8，BP=3，Q是線段AP上一動點，連結BQ并延長交四邊形ABCD的一邊于點R，若點Q是BR的三等分點，則AR的長為$\frac{3}{2}$或6或$\frac{8\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 分三種情形：①如圖1中，當BQ₁=2Q₁R₁時，②如圖1中，當Q₂R₂=2BQ₂時，③如圖2中，當點R₃在CD上時，R₃Q₃=2BQ₃，作R₃M⊥AB于M，交AP于N．分別利用平行線的性質，勾股定理等知識即可解決．

解答 解：如圖1中，①當BQ₁=2Q₁R₁時，
∵AD∥BC，
∴$\frac{A{R}_{1}}{PB}$=$\frac{{Q}_{1}{R}_{1}}{B{Q}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，∵PB=3，
∴AR₁=$\frac{3}{2}$，
②當Q₂R₂=2BQ₂時，
∵AR₂∥PB，
∴$\frac{A{R}_{2}}{PB}$=$\frac{{Q}_{2}{R}_{2}}{B{Q}_{2}}$=2，
∴AR₂=6．
③如圖2中，當點R₃在CD上時，R₃Q₃=2BQ₃，作R₃M⊥AB于M，交AP于N．
∵R₃N∥PB，
∴$\frac{{R}_{3}N}{PB}$=$\frac{{R}_{3}{Q}_{3}}{B{Q}_{3}}$=2，
∴NR₃=6，MN=MR₃=AD=8-6=2，
∵MN∥PB，
∴$\frac{MN}{PB}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴AM=$\frac{16}{3}$，
在RT△AMR₃中，AR₃=$\sqrt{A{M}^{2}+M{{R}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{8}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{3}$．
故答案為$\frac{3}{2}$或6或$\frac{8\sqrt{13}}{3}$．

點評 本題考查正方形的性質、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確畫出圖形，學會分類討論的思想，屬于中考�？碱}型．