Question

如圖，在直角△ABC中，D為斜邊AB的中點，DE⊥DF，而E、F分別在AC和BC上，連結(jié)EF．觀察AE、EF、BF能不能組成直角三角形．寫出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

分析：延長FD到F′，使DF′=DF，連接AF′、EF′，利用“邊角邊”證明△ADF′和△BDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF′=BF，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠B=∠DAF′，然后求出∠EAF′=90°，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得EF=EF′，從而得解．

解答：解：如圖，延長FD到F′，使DF′=DF，連接AF′、EF′，
∵D為斜邊AB的中點，
∴AD=BD，
在△ADF′和△BDF中，

AD=BD ∠ADF′=∠BDF DF′=DF

，
∴△ADF′≌△BDF（SAS），
∴AF′=BF，∠B=∠DAF′，
∵∠BAC+∠B=90°，
∴∠BAC+∠DAF′=∠BAC+∠B=90°，
即∠EAF′=90°，
又∵DE⊥DF，
∴EF′=EF，
∴△EAF′是以EF′為斜邊的直角三角形，
故AE、EF、BF能組成直角三角形，斜邊為EF．

點評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題關(guān)鍵，也是本題的難點．