Question

1．如圖，在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD、BE交于Q點，BP⊥AD于P點．
求證：（1）△BAE≌△ACD；
（2）∠BQP=60°；
（3）BQ=2PQ．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，即可證明．
（2）根據三角形的外角的性質，∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，即可證明．
（3）利用直角三角形30度性質即可解決問題．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠C=60°}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS），


（2）∵△ABE≌△CAD
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，

（3）∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BP=2PQ．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟記各性質并準確識圖求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解題的關鍵．