Question

（1）問(wèn)題背景
如圖①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線(xiàn)交直線(xiàn)AC于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，交直線(xiàn)BD于E，CE交直線(xiàn)BA于M．探究線(xiàn)段BD與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是

 

．
（2）類(lèi)比探索
在（1）中，如果把BD改為△ABC的外角∠ABF的平分線(xiàn)，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拓展延伸
在（2）中，如果AB=

1

2

AC，其他條件均不變（如圖③），請(qǐng)直接寫(xiě)出BD與CE的數(shù)量關(guān)系為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠ABD=∠CBD，再利用“角邊角”證明△BME和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=ME，再求出∠ADB=∠M，然后利用兩角的正弦列式整理可得BD=CM，從而得證；
（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠1=∠2，再根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠3=∠4，然后利用“角邊角”證明△BME和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=ME，再求出∠D=∠M，然后利用兩角的正弦列式整理可得BD=CM，從而得證；
（3）根據(jù)（2）的求解思路解答即可．

解答：（1）解：∵BE是∠ABC的平分線(xiàn)，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BME和△BCE中，

∠ABD=∠CBD BE=BE ∠BEM=∠BEC

，
∴△BME≌△BCE（ASA），
∴CE=ME，
∵CE⊥BD，∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠M=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADB=∠M，
∴sin∠ADB=sin∠M，
即

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=AC，
∴BD=CM，
∴BD=2CE；

（2）結(jié)論BD=2CE仍然成立．
證明：∵BD是∠ABF的平分線(xiàn)，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
在△CBE和△MBE中，

∠3=∠4 BE=BE ∠CEB=∠MEB=90°

，
∴△CBE≌△MBE（ASA），
∴CE=ME，
∴CM=2CE，
∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°．
∴∠D=∠M，
∴sin∠D=sin∠M，
∴

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=AC，
∴BD=CM=2CE；

（3）解：同（2）可得

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=

1

2

AC，
∴BD=

1

2

CM，
∴BD=CE．
故答案為：（1）BD=2CE；（3）BD=CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，準(zhǔn)確識(shí)圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵利用銳角的正弦列式求解更簡(jiǎn)便．