Question

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AB=2

3

，DC=4，則AD的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，由AD與BC垂直，得到三角形ABD與三角形ACD都為直角三角形，可得出一對(duì)直角相等，在直角三角形ABD中，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到一對(duì)角互余，再由直角三角形ABC的兩銳角互余得到另一對(duì)角互余，根據(jù)同角的余角相等可得出一對(duì)角相等，根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形ABD與三角形ACD相似，由相似得比例列出比例式，設(shè)AD為x，在直角三角形ABD中，由AB及AD，利用勾股定理表示出BD，將DC，BD及AD代入比例式中，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得出x的值，即為AD的長．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
又∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAD，
∴AD²=BD•DC，
設(shè)AD=x，在Rt△ABD中，AD=x，AB=2

3

，
根據(jù)勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=

12-x2

，
又BD=4，
∴x²=4

12-x2

，
兩邊平方得：x⁴=16（12-x²），即x⁴+16x²-192=0，
因式分解得：（x²+24）（x²-8）=0，
可得：x²=-24（舍去），x²=8，
解得：x=2

2

，或x=-2

2

（舍去），
則CD=2

2

．
故答案為：2

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及垂直的定義，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．