Question

6．已知O是坐標原點，點A的坐標是（5，0），點B是y軸正半軸上一動點，以OB、OA為邊作矩形OBCA，點E、H分別在邊BC和邊OA上，將△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處，將△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處．
（1）如圖1，求證：四邊形OECH是平行四邊形；
（2）如圖2，當點B運動到使得點F、G重合時，求點B的坐標，并判斷四邊形OECH是什么四邊形？說明理由；
（3）當點B運動到使得點F，G將對角線OC三等分時，如圖3，如圖4，分別求點B的坐標．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠EOC=∠OCH，可得OE∥CH，EC∥OH即可證明；
（2）B的坐標是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；四邊形OECH是菱形；首先根據(jù)對角線相互垂直的平行四邊形是菱形，判斷四邊形OECH是菱形，即可推出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，由此即可解決問題；
（3）分兩種情形求解即可：①當點F在點O，G之間時，如圖3；②當點G在O，F(xiàn)之間時，如圖4；

解答 （1）證明：如圖1，

∵四邊形OBCA為矩形，
∴OB∥CA，BC∥OA，
∴∠BOC=∠OCA，
又∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，
∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，
∴∠EOC=∠OCH，
∴OE∥CH，
又∵BC∥OA，
∴四邊形OECH是平行四邊形；

（2）解：點B的坐標是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；四邊形OECH是菱形．理由如下：如圖2，

∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，
∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，
∵點F，G重合，
∴EH⊥OC，
又∵四邊形OECH是平行四邊形，
∴平行四邊形OECH是菱形，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
又∵∠EOC=∠BOE，
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，
又∵點A的坐標是（5，0），
∴OA=5，
∴BC=5，
在Rt△OBC中，OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴點B的坐標是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；

（3）解：①當點F在點O，G之間時，如圖3，

∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，
∴OF=OB，CG=CA，
而OB=CA，
∴OF=CG，
∵點F，G將對角線OC三等分，
∴AC=OF=FG=GC，
設AC=m，則OC=3m，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC²+OA²=OC²，
∴m²+5²=（3m）²，解得m=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴OB=AC=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴點B的坐標是（0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$）；
②當點G在O，F(xiàn)之間時，如圖4，

同理可得OF=CG=AC，
設OG=n，則AC=GC=2n，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC²+OA²=OC²，
∴（2n）²+5²=（3n）²，解得n=$\sqrt{5}$，
∴AC=OB=2 $\sqrt{5}$，
∴點B的坐標是（0，2 $\sqrt{5}$）．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形的性質、平行四邊形和菱形的判定方法和折疊的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題，屬于中考壓軸題．