Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)為（4,1）的拋物線交軸于點(diǎn),交軸于,兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）,已知點(diǎn)坐標(biāo)為（6,0）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）聯(lián)結(jié)AB,過點(diǎn)作線段的垂線交拋物線于點(diǎn),如果以點(diǎn)為圓心的圓與拋物線的對稱軸相切,先補(bǔ)全圖形,再判斷直線與⊙的位置關(guān)系并加以證明；

（3）已知點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn),且位于,兩點(diǎn)之間.問：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時,的面積最大？求出的最大面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的解析式為；

（2）直線BD與⊙相離；

（3）的最大面積是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)列出頂點(diǎn)式，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；

（2）先求出圓的半徑，再借助三角形相似，求出C到直線的距離，比較他們的大小即可；

（3）過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出PQ的值，再表示出

的面積，借助函數(shù)關(guān)系式求出最值.

試題解析：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（4,1）,

∴設(shè)拋物線解析式為.

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（6,0）,

∴.

∴.

∴.

所以拋物線的解析式為；

(2)補(bǔ)全圖形、判斷直線BD與⊙相離

令=0,則,. 

∴點(diǎn)坐標(biāo)（2,0）.

又∵拋物線交軸于點(diǎn),

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）,

∴.

設(shè)⊙與對稱軸l相切于點(diǎn)F,則⊙的半徑CF=2,

作⊥BD于點(diǎn)E,則∠BEC=∠AOB=90°.

∵,

∴.

又∵,

∴.   

∴∽,

∴.

∴,

∴.

∴直線BD與⊙相離；

(3)如圖,過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).

∵A（0,-3）,（6,0）.

∴直線解析式為.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（,）,

則點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）.

∴PQ=-()=.

∵,

∴當(dāng)時,的面積最大為 

∵當(dāng)時,=

∴點(diǎn)坐標(biāo)為（3,）.

綜上：點(diǎn)的位置是（3,）,的最大面積是.

考點(diǎn)：拋物線,圓,動點(diǎn)問題.