Question

如圖①，已知兩個(gè)菱形ABCD和EFGH是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形（菱形ABCD與菱形EFGH的位似比為21），∠BAD＝120°，對(duì)角線均在坐標(biāo)軸上，拋物線經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M．

⑴填空：Ａ點(diǎn)坐標(biāo)為          ，D點(diǎn)坐標(biāo)為          ；

⑵操作：如圖②，固定菱形ABCD，將菱形EFGH繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)度角，并延長(zhǎng)OE交AD于P，延長(zhǎng)OH交CD于Q．

探究1：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中是否存在某一角度，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)推斷出的值；若不存在，說(shuō)明理由；

探究2：設(shè)AP＝，四邊形OPDQ的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍．

 

Answer 1

（1）A（0，2），D(，0)

（2）探究1：當(dāng)α=60°時(shí)，四邊形AFEP是平行四邊形 

理由如下：

∵兩菱形的位似比為21，OA＝2，OD＝，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4,∠BAO=60°

∴菱形EFGH的邊長(zhǎng)EF＝AD＝2，∠FEO＝60°

∵在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中EF的長(zhǎng)和∠FEO的大小始終不變

∴當(dāng)射線OE旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)，P與M重合，AM＝AP＝2

△AOP為等邊三角形，∠APO＝∠AOP＝60°

那么，∠APO＝∠FEO＝60°，則EF∥AP

又∵EF＝AM＝2

∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α＝∠AOP＝60°時(shí)，EF平行且等于AP

∴α＝60°時(shí)，四邊形AFEP為平行四邊形.

探究2：過(guò)P點(diǎn)作PR⊥y軸于R，過(guò)Q作QT⊥x軸于T，設(shè)TQ＝y(tǒng)，則：

PR＝AP?sin60°=,OR=OA-AR=2-AP?cos60°=2-x，

OT=OD-DT=-TQ?tan60°=-

∵它繞對(duì)稱(chēng)中心O旋轉(zhuǎn)時(shí)∠POR＝∠QOT

∴Rt△POR∽R(shí)t△QOT

∴    ∴,

化簡(jiǎn)得：

∴S===

即S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=  (0<x<4)