Question

在平行四邊形ABCD中，AC的垂直平分線分別交CD、AB于點F、E，AB=4，BC=

3

，AC=3

3

，求EF．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質

專題：

分析：如圖，過C作CG∥FE交AB的延長線于G、作CH⊥BG交BG于H．構建直角△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四邊形EFCG．利用勾股定理和相似三角形的對應邊成比例可以求得CG的長度，則平行四邊形EFCG的對邊相等：EF=CG．

解答： 解：如圖，過C作CG∥FE交AB的延長線于G、作CH⊥BG交BG于H．
由勾股定理得到：CH²=AC²-（AB+BH）²=BC²-BH²，
∵AB=4，BC=

3

，AC=3

3

，
∴（3

3

）²-（4+BH）²=（

3

）²-BH²，
解得∴BH=1．
∴AH=AB+BH=4+1=5．
∴CH=

AC2-AH2

=

2

．
∵CG∥FE、AC⊥FE，
∴CG⊥AC．
∵∠CAH=∠GAC，∠AHC=∠ACG=90°，
∴△ACH∽△AGC，
∴CH：CG=AH：AC，
∴CG=

CH•AC

AH

=

2 ×3 3

5

=

3 6

5

．
∵四邊形ABCD平行四邊形，
∴FC∥EG．
又CG∥FE，
∴四邊形EFCG是平行四邊形，
∴EF=CG=

3 6

5

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質．解題時利用了勾股定理、相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的判定與性質，綜合性比較強，難度較大．