Question

17．（1）觀察下列已有的規(guī)律，在括號(hào)內(nèi)填上恰當(dāng)?shù)臄?shù)．
（2）請(qǐng)根據(jù)上題中的“楊輝三角系數(shù)集”，仔細(xì)觀察下列各式中系數(shù)的規(guī)律，并填空．
①（a+b）=a+b   各項(xiàng)系數(shù)之和：1+1=2=a¹
②（a+b）²=a²+2ab+b²各項(xiàng)系數(shù)之和：1+2+1=4=2²
③（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³各項(xiàng)系數(shù)之和：1+3+3+1=8=2³
④（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴  各項(xiàng)系數(shù)之和：2⁴
（3）設(shè)（x+1）⁹=a₉x⁹+a₈x⁸+…+a₁x+a₀，求a₀+a₁+a₂+…+a₉的值．
（4）你能在（3）的基礎(chǔ)上求出a₀+a₂+a₄+a₆+a₈的值嗎？若能，請(qǐng)寫出過程．

Answer 1

分析 （1）觀察本題的規(guī)律，下一行的數(shù)據(jù)是上一行相鄰兩個(gè)數(shù)的和，根據(jù)規(guī)律填入即可．
（2）通過觀察可以看出（a+b）⁴的展開式為4次5項(xiàng)式，a的次數(shù)按降冪排列，b的次數(shù)按升冪排列，各項(xiàng)系數(shù)分別為1，4，6，4，1．
（3）令x=1，即可求得a₀+a₁+a₂+…+a₉的值；
（4）“楊輝三角系數(shù)集”的規(guī)律可知a₉=1，代入（3）中的式子即可求得．

解答 解：（1）答案為4，6；
（2）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
故答案為4a³b+6a²b²+4ab³，2⁴；
（3）由（x+1）⁹=a₉x⁹+a₈x⁸+…+a₁x+a₀，
令x=1，則a₀+a₁+a₂+…+a₉=2⁹；
（4）∵a₉=1，
∴a₀+a₂+a₄+a₆+a₈=2⁹-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是整式的混合運(yùn)算，數(shù)字變化的規(guī)律，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是本題的關(guān)鍵．