Question

已知：拋物線y=ax²+（a-2）x-2過(guò)點(diǎn)A（3，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y=ax²+（a-2）x-2在直線y=-1下方的部分沿直線y=-1翻折，圖象其余的部分保持不變，得到的新函數(shù)圖象記為G．點(diǎn)M（m，y₁）在圖象G上，且y₁≤0．
①求m的取值范圍；
②若點(diǎn)N（m+k，y₂）也在圖象G上，且滿足y₂≥4恒成立，則k的取值范圍為_(kāi)_____．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+（a-2）x-2過(guò)點(diǎn)A（3，4），
∴4=9a+3（a-2）-2，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（2）①∵y=x²-x-2，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x²-x-2=0，解得x=-1或2，
∴y=x²-x-2與x軸交于點(diǎn)（-1，0），（-2，0）．
當(dāng)y=-1時(shí)，x²-x-2=-1，解得x=，
∵y=x²-x-2=（x-）²-，
∴頂點(diǎn)為（，-），它關(guān)于直線y=-1對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），
∴當(dāng)x≤或x≥時(shí)，圖象G的解析式不變，仍然為y=x²-x-2；
當(dāng)＜x＜時(shí)，圖象G的解析式為y=-（x-）²+，即y=-x²+x，
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+x=0，解得x=0或1，
∴如果點(diǎn)M（m，y₁）在圖象G上，且y₁≤0時(shí)，-1≤m≤0或1≤m≤2；

②由圖象可知，y≥4時(shí)，x²-x-2≥4，
解得x≤-2或x≥3．
∴m+k≤-2或m+k≥3，
又∵-1≤m≤0或1≤m≤2，
∴k≤-4或k≥4．
故答案為k≤-4或k≥4．
分析：（1）將A（3，4）代入y=ax²+（a-2）x-2，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式為y=x²-x-2；
（2）①圖象G的解析式分為兩部分，當(dāng)x≤或x≥時(shí)，y=x²-x-2，此時(shí)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），（2，0）；當(dāng)＜x＜時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性求出解析式為y=-（x-）²+，即y=-x²+x，此時(shí)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（0，0），（1，0）．所以當(dāng)點(diǎn)M（m，y₁）在圖象G上，且y₁≤0時(shí)，可得m的取值范圍是-1≤m≤0或1≤m≤2；
②先根據(jù)y₂≥4求出自變量的取值范圍是m+k≤-2或m+k≥3，又由①知-1≤m≤0或1≤m≤2，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得出k≤-4或k≥4．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，對(duì)稱軸與坐標(biāo)軸平行時(shí)二次函數(shù)解析式的特點(diǎn)，不等式的性質(zhì)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．