Question

已知拋物線y=x²+2mx+n的頂點(diǎn)在直線y=-

1

2

x+

1

2

上，且過點(diǎn)（1，3），求這個(gè)拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：把拋物線解析式寫成頂點(diǎn)式形式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入直線解析式得到關(guān)于m、n的方程，再把點(diǎn)（1，3）代入拋物線解析式并用m表示出n，再聯(lián)立兩方程消掉n得到關(guān)于m的一元二次方程求解得到m，再求出相應(yīng)的n值，最后寫出拋物線的解析式即可．

解答：解：∵y=x²+2mx+n=（x+m）²-m²+n，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，-m²+n），
∴-

1

2

×（-m）+

1

2

=-m²+n，
即2m²+m-2n+1=0①，
∵拋物線過點(diǎn)（1，3），
∴2m+n+1=3，
∴n=-2m+2②，
②代入①得，2m²+5m-3=0，
∴（2m-1）（m+3）=0，
∴2m-1=0，m+3=0，
解得m₁=

1

2

，m₂=-3，
當(dāng)m₁=

1

2

時(shí)，n=-2×

1

2

+2=1，
當(dāng)m₂=-3時(shí)，n=-2×（-3）+2=8，
∴拋物線的解析式為y=x²+x+1或y=x²-6x+8．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得到兩個(gè)關(guān)于m、n的方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．