Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O切于點C，OD⊥AB，已知tanA=

1

3

，則sinD的值為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連結(jié)OC，BC，作CH⊥AB于H，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CD，則∠D+∠2=90°，由OD⊥AB得到∠2+∠1=90°，所以∠1=∠D，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，利用正切的定義得到tan∠A=

BC

AC

=

1

3

，設BC=x，則AC=3x，根據(jù)勾股定理計算出AB=

10

x，再利用面積法計算出CH=

3 10

10

x，在Rt△OCH中，根據(jù)正弦的定義求解．

解答：解：連結(jié)OC，BC，作CH⊥AB于H，如圖，
∵CD與⊙O切于點C，
∴OC⊥CD，
∴∠D+∠2=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠D，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠A=

BC

AC

=

1

3

，
設BC=x，則AC=3x，
∴AB=

AC2+BC2

=

10

x，
∴OC=

1

2

AB=

10

2

x，
∵

1

2

CH•AB=

1

2

AC•BC，
∴CH=

3x•x

10 x

=

3 10

10

x，
在Rt△OCH中，sin∠1=

CH

OC

=

3 10 x 10

10 x 2

=

3

5

，
∴sinD=

3

5

．
故答案為

3

5

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理、勾股定理和銳角三角函數(shù)．