Question

當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，方程|x²-5x|=a有且只有相異實數(shù)根？

Answer 1

解：∵方程|x²-5x|=a有且只有相異實數(shù)根，
∴a≥0，①
當(dāng)a=0時，x²-5x=0，解得x₁=0，x₂=5，方程有相異實數(shù)根
當(dāng)a＞0時，
原方程化為：x²-5x+a=0或x²-5x-a=0；
∵方程x²-5x-a=0的△=5²-4×（-a）=25+4a＞0，解得a＞-②；
∴此方程總有相異實數(shù)根，
而方程|x²-5x|=a有且只有相異實數(shù)根，
∴方程x²-5x+a=0沒實數(shù)根，
∴△′＜0，即△′=5²-4a=25-4a＜0，解得a＞③；
由①②③可得a的取值范圍為a＞或a=0．
分析：先可得到a≥0，當(dāng)a=0時，x²-5x=0，解得x₁=0，x₂=5，方程有相異實數(shù)根；當(dāng)a＞0時，去絕對值方程化為：x²-5x+a=0或x²-5x-a=0；對于方程x²-5x-a=0，可得△=5²-4×（-a）=25+4a＞0，總有相異實數(shù)根，則對方程x²-5x+a=0應(yīng)該沒實數(shù)根，才能滿足條件，所以△′＜0，即△′=5²-4a=25-4a＜0，最后確定a的取值范圍．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b2-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．