Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l₁經過點A（2，0）且與y軸平行，直線l₂經過點B（0，1）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于P，點E為直線l₂上一點，函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k＞0且k≠2）的圖象經過點E與直線l₁相交于點F．
（1）寫出點E、點F的坐標（用含k的代數(shù)式表示）；
（2）求

PE

PF

的值；
（3）連接OE、OF、EF．若△OEF為直角三角形，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于點E在直線l₂上，所以把y=1代入即可得出E點坐標；同理，把x=2代入即可得出F點的坐標；
（2）由于EF的坐標不能確定，故應分兩種情況進行解答；
（3）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△OBE∽△EFP，△OAF∽△FPE，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

解答：解：（1）∵直線l₁經過點A（2，0）且與y軸平行，直線l₂經過點B（0，1）且與x軸平行，
∴當y=1時，x=k；當x=2時，y=

k

2

，
∴E（k，1），F(xiàn)（2，

k

2

）；

（2）當0＜k＜2時，

PE

PF

=

2-k

1- k 2

=2；
當k＞2時，

PE

PF

=

k-2

k 2 -1

=2．

（3）當∠OEF=90°時，
∵∠OEB+∠EOB=∠OEB+∠PEF=90°，
∴∠EOB=∠PEF，
∵∠OBE=∠EFP=90°，
∴△OBE∽△EPF，
∴

OB

BE

=

PE

PF

=2，
∴

1

k

=2，
∴k=

1

2

；
當∠OFE=90°時，
同理可得△OAF∽△FPE，
∴

AF

OA

=

PE

PF

=2，
∴

k 2

2

=2，解得k=8．
綜上所述，k=

1

2

或k=8．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)，熟知反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點是解答此題的關鍵．