Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，再打開(kāi)得到折痕EF．

   （1）當(dāng)A′與B重合時(shí)（如圖1），EF=        ；當(dāng)折痕EF過(guò)點(diǎn)D時(shí)（如圖2），求線段EF的長(zhǎng)；

   （2）①觀察圖3和圖4，設(shè)BA′=x，①當(dāng)x的取值范圍是        時(shí)，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEA′F是菱形．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)A′與B重合時(shí)，EF=5，當(dāng)折痕EF過(guò)點(diǎn)D時(shí)EF= ，（2）①，②證明見(jiàn)解析

【解析】解：(1)5。

由折疊（軸對(duì)稱）性質(zhì)知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=90⁰。

  在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴ 。

∴A′B=BC－A′C=5－4=1。

             ∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=90⁰， ∴∠BEA′=∠FA′C。

             又 ∵∠B=∠C=90⁰，∴Rt△EBA′∽R(shí)t△A′CF�！�，即

             ∴ 。

在Rt△A′EF中，。

（2）①。

            ②證明：由折疊（軸對(duì)稱）性質(zhì)知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。

              又 ∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′ 。∴∠AEF=∠AFE 。

              ∴AE=AF�！郃E=A′E=AF=A′F。

               ∴四邊形AEA′F是菱形。

 (1)根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，當(dāng)A′與B重合時(shí)（如圖1），EF= AD=5。根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的長(zhǎng)，由Rt△EBA′∽R(shí)t△A′CF求得，在Rt△A′EF中，由勾股定理求得EF的長(zhǎng)。

 （2）①由圖3和圖4可得，當(dāng)時(shí)，四邊形AEA′F是菱形。

 ②由折疊和矩形的性質(zhì)，可得AE=A′E，AF=A′F。由平行和等腰三角形的性質(zhì)可得AE=AF。從而AE=A′E=AF=A′F。根據(jù)菱形的判定得四邊形AEA′F是菱形。