Question

如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心．求證：
（1）OI是△IBD的外接圓的切線；
（2）AB+AD=2BD．

Answer 1

解：（1）∵∠CID=∠IAD+∠IDA，∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA
∴∠CID=∠CDI，
∴CI=CD．
同理，CI=CB．
故點(diǎn)C是△IBD的外心．
連接OA，OC，
∵I是AC的中點(diǎn)，且OA=OC，
∴OI⊥AC，即OI⊥CI．
∴OI是△IBD外接圓的切線．
（2）由（1）可得：
∵AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心，
∴∠BAC=∠CAD
∴∠BDC=∠DAC=∠BAC，
又∵∠ACD=∠DCF，
∴△ADC∽△DFC，
∴=，
∵AC=2CI
∴AC=2CD
∴AD=2DF
同理可得：AB=2BF
∴AB+AD=2BF+2DF=2BD．
分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊即可證得C是△IBD的外心，然后證得OI⊥CI，即可證得OI是△IBD的外接圓的切線；
（2）根據(jù)（1）可以得到AI=CD，AB=2BF，即可證得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的證明，以及三角形的內(nèi)心的計(jì)算，證得C是△IBD的外心是關(guān)鍵．