Question

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

(1)求證：EG＝CG；

(2)將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45o，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

(3)將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？(均不要求證明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：在Rt△FCD中， 　　∵G為DF的中點，∴CG＝FD　　1分 　　同理，在Rt△DEF中， 　　EG＝FD　　2分 　　∴CG＝EG　　3分 　　(2)(1)中結(jié)論仍然成立，即EG＝CG　　4分 　　證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點． 　　在△DAG與△DCG中， 　　∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG， 　　∴△DAG≌△DCG． 　　∴AG＝CG　　5分 　　在△DMG與△FNG中， 　　∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG， 　　∴△DMG≌△FNG． 　　∴MG＝NG 　　在矩形AENM中，AM＝EN　　6分 　　在Rt△AMG與Rt△ENG中， 　　∵AM＝EN，MG＝NG， 　　∴△AMG≌△ENG． 　　∴AG＝EG． 　　∴EG＝CG　　8分 　　證法二：延長CG至M，使MG＝CG， 　　連接MF，ME，EC　　4分 　　在△DCG與△FMG中， 　　∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG， 　　∴△DCG≌△FMG． 　　∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG． 　　∴MF∥CD∥AB　　5分 　　∴EF⊥MF． 　　在Rt△MFE與Rt△CBE中， 　　∵MF＝CB，EF＝BE， 　　∴△MFE≌△CBE． 　　∴∠MEF＝∠CEB　　6分 　　∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°　　7分 　　∴△MEC為直角三角形． 　　∵MG＝CG， 　　∴EG＝MC． 　　∴EG＝CG　　8分 　　(3)(1)中的結(jié)論仍然成立， 　　即EG＝CG．其他的結(jié)論還有：EG⊥CG　　10分