Question

已知：函數y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a為常數）．

（1）若該函數圖象與坐標軸只有兩個交點，求a的值；

（2）若該函數圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0）兩點，與y軸相交于點C，且x2﹣x1=2．

①求拋物線的解析式；

②作點A關于y軸的對稱點D，連結BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer 1

（1）a=0或﹣或﹣1；（2）①y=x2﹣4x+3②.

【解析】

試題分析：（1）分一次函數和二次函數兩種情況討論；（2）①根據題意可得x1，x2為ax2﹣（3a+1）x+2a+1=0的兩個根，然后利用根與系數的關系，將x2﹣x1=2進行變形消去x1，x2，，解以a為未知數的方程即可；②根據條件求出點A、B、C、D的坐標，過點D作DE⊥CB于E，可證△EDB為等腰直角三角形，利用勾股定理求出DE、CD的長，根據定義可求sin∠DCB的值．

試題解析：【解析】
（1）函數y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a為常數），

若a=0，則y=﹣x+1，與坐標軸有兩個交點（0，1），（1，0）； 1分

若a≠0且圖象過原點時，2a+1=0，a=﹣，有兩個交點（0，0），（1，0）； 2分

若a≠0且圖象與x軸只有一個交點時，令△=0有：

△=（3a+1）2﹣4a（2a+1）=0，解得a=﹣1，有兩個交點（0，﹣1），（1，0）．

綜上得：a=0或﹣或﹣1時，函數圖象與坐標軸有兩個交點． 4分

（2）①∵函數與x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0）兩點，

∴x1，x2為ax2﹣（3a+1）x+2a+1=0的兩個根，

∴x1+x2=，x1x2=，∵x2﹣x1=2，

∴4=（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣4，

解得a=﹣（函數開口向上，a＞0，舍去），或a=1，

∴y=x2﹣4x+3． 8分

②∵函數y=x2﹣4x+3與x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0）兩點，與y軸相交于點C，且x1＜x2，

∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），∵D為A關于y軸的對稱點，∴D（﹣1，0）．

根據題意畫圖，

如圖1，過點D作DE⊥CB于E，∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠CBO=45°，∴△EDB為等腰直角三角形，

設DE=x，則EB=x，∵DB=4，∴x2+x2=42，∴x=2，即DE=2．

在Rt△COD中，∵DO=1，CO=3，∴CD==，∴sin∠DCB==． 14分

考點：1.函數與坐標軸的交點；2.一元二次方程根與系數的關系；3.勾股定理；4.三角函數.