Question

19．在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，如圖1，再在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒，底面為矩形EFGH，如圖2．設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x厘米．
（1）當(dāng)矩形紙板ABCD的一邊長(zhǎng)為90厘米時(shí)，求紙盒的側(cè)面積的最大值；
（2）當(dāng)EH：EF=7：2，且側(cè)面積與底面積之比為9：7時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析 （1）一邊長(zhǎng)為90cm，則另一邊長(zhǎng)為40cm，列出側(cè)面積的函數(shù)解析式，配方可得最值；
（2）由EH：EF=7：2，設(shè)EF=2m、EH=7m，根據(jù)側(cè)面積與底面積之比為9：7建立方程，可得m=x，由矩形紙板面積得出x的值．

解答 解：（1）∵矩形紙板ABCD的一邊長(zhǎng)為90cm，
∴矩形紙板的另一邊長(zhǎng)為3600÷90=40（cm），
則S_側(cè)=2[x（90-2x）+x（40-2x）]=-8x²+260x，
=-8（x-$\frac{65}{4}$）²+$\frac{4225}{2}$．
∵-8＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{65}{4}$時(shí)，S_側(cè)最大=$\frac{4225}{2}$．

（2）設(shè)EF=2m，則EH=7m，
則側(cè)面積為2（7mx+2mx）=18mx，底面積為7m•2m=14m²，
由題意，得18mx：14m²=9：7，
∴m=x．
則AD=7x+2x=9x，AB=2x+2x=4x
由4x•9x=3600，且x＞0，
∴x=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)矩形的面積公式列出面積的函數(shù)表達(dá)式或方程是解題的關(guān)鍵．