Question

如圖在平面直角坐標系中正方形OABC的邊OC，OA分別在x軸正半軸上和y軸的負半軸上，點B在雙曲線y=-

4

x

上，直線y=kx-k（k＞0）交y軸與F．
（1）求點B、E的坐標；
（2）連接BE，CF交于M點，是否存在實數k，使得BE⊥CF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由；

（3）F在線段OA上，連BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，當F在線段OA上運動時（不與O、A重合），

OM+AN

BN

的值是否變化．若變化，求出變化的范圍；若不變，求其值．

Answer 1

分析：（1）把正方形的面積用B點坐標表示求解；
（2）用分析法求解．根據直線解析式的特點，求k只需求滿足條件時OF的長；
（3）探索：

OM+AN

BN

=

OM

BN

+

AN

BN

=

OF

AB

+

AF

AB

AN

BN

，

OM

BN

=

OF

AB

，

AN

BN

=

AF

AB

，代換后得結論為1，所以不變化．

解答：解：（1）根據題意，設B（x，-x），
∵B在y=-

4

x

的圖象上，
∴x²=4，x=±2，
根據圖形得B（2，-2），
∵E在X軸上，
∴kx-k=0，x=1，即E（1，0）；

（2）假設存在k，使BE⊥CF，
∵∠OCF=∠CBE∠COF=∠BCE，OC=CB
∴△OCF≌△CBE
∴OF=CE=1
∴k=1；

（3）

OM+AN

BN

=1．
證明：由已知條件易證：△OMF∽△BNA，△ANF∽△BNA，
∴

OM

BN

=

OF

AB

，

AN

BN

=

AF

AB

∴

OM+AN

BN

=

OM

BN

+

AN

BN

=

OF

AB

+

AF

AB

=

OA

AB

=1．

點評：此題運用了分析法解題探究，綜合性很強，檢驗學生自主創(chuàng)新能力．