Question

7．如圖，點(diǎn)P（x，y₁））與Q（x，y₂）分別是兩個(gè)函數(shù)圖象C₁與C₂上的任一點(diǎn)．當(dāng)a≤x≤b時(shí)，有-1≤y₁-y₂≤1成立，則稱這兩個(gè)函數(shù)在a≤x≤b上是“相鄰函數(shù)”，否則稱它們?cè)赼≤x≤b上是“非相鄰函數(shù)”．例如，點(diǎn)P（x，y₁）與Q（x，y₂）分別是兩個(gè)函數(shù)y=3x+1與y=2x-1圖象上的任一點(diǎn)，當(dāng)-3≤x≤-1時(shí)，y₁-y₂=（3x+1）-（2x-1）=x+2，通過構(gòu)造函數(shù)y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性質(zhì)，得到該函數(shù)值的范圍是-1≤y≤1，所以-1≤y1-y2≤1成立，因此這兩個(gè)函數(shù)在-3≤x≤-1上是“相鄰函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)y=3x+2與y=2x+1在-2≤x≤0上是否為“相鄰函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)y=$\frac{2}{x}$與y=-2x+a在1≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，請(qǐng)求出a的最大值與最小值．
（3）若函數(shù)y=x²-（2a-1）x與y=x-2在1≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判定函數(shù)y=3x+2與y=2x+1在-2≤x≤0上為“相鄰函數(shù)”，利用給定的證明過程，將y₁=3x+1、y₂=2x-1替換成y₁=3x+2、y₂=2x+1即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的單調(diào)性，分別找出當(dāng)x=1、x=2時(shí)，y₁、y₂的值，再根據(jù)“相鄰函數(shù)”的定義即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論；
（3）將兩函數(shù)解析式做差，找出y₁-y₂=（x-a）²+2-a²，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)找出其最大值與最小值，再根據(jù)“相鄰函數(shù)”的定義即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）是“相鄰函數(shù)”．
  理由如下：
y₁-y₂=（3x+2）-（2x+1）=x+1，構(gòu)造函數(shù)y=x+1．
∵y=x+1在-2≤x≤0上隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最大值1，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有最小值-1，即-1≤y≤1．
∴-1≤y₁-y₂≤1．
即函數(shù)y=3x+2與y=2x+1在-2≤x≤0上是“相鄰函數(shù)”；

（2）反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$在1≤x≤2上是減函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，y₁=2；當(dāng)x=2時(shí)，y₁=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y₂=-2+a；當(dāng)x=2時(shí)，y₂=-4+a．
∵-1≤y₁-y₂≤1，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤4-a≤1}\\{-1≤5-a≤1}\end{array}\right.$，
解得：4≤a≤5．
∴若函數(shù)y=$\frac{2}{x}$與y=-2x+a在1≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，a的最大值為5，最小值為4；

（3）y₁-y₂=[x²-（2a-1）x]-（x-2）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²．
∵y=x²-（2a-1）x與y=x-2在1≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，
∴|y₁-y₂|≤1．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)x=1時(shí)，y₁-y₂有最大值3-2a，
當(dāng)x=a時(shí)，y₁-y₂有最小值2-a²．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤3-2a≤1}\\{-1≤2-{a}^{2}≤1}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{5}{4}$≤a≤$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是：
（1）構(gòu)造函數(shù)y=x+1，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（2）由“相鄰函數(shù)”的性質(zhì)得出關(guān)于a的一元一次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合給定的新定義，找出關(guān)于函數(shù)系數(shù)a的方程（不等式或不等式組）是關(guān)鍵．
（3）由“相鄰函數(shù)”的性質(zhì)得出關(guān)于a的一元一次不等式．