Question

5．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$，利用三角形面積公式求出CE，根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)垂徑定理計(jì)算即可．

解答 解：作CE⊥AB于E，
則AE=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
$\frac{1}{2}$×AB×CE=$\frac{1}{2}×$AC×BC，即$\frac{1}{2}×$$\sqrt{5}$×CE=$\frac{1}{2}×1×2$，
解得，CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則AD=2AE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．