Question

9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角∠ACD平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．
（3）若能使四邊形AECF為正方形，則原△ABC的形狀如何？并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，得出EO=CO，F(xiàn)O=CO，即可得出結(jié)論；
（2）先證明四邊形AECF是平行四邊形，再由對(duì)角線相等，即可得出結(jié)論；
（3）由正方形的性質(zhì)得出∠ACE=45°，得出∠ACB=2∠ACE=90°即可．

解答 （1）證明：∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO．
（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形；理由如下：
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，
即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
（3）解：四邊形AECF是正方形時(shí)；理由如下：
若四邊形AECF是正方形，
則∠ACE=45°，
∴∠ACB=2∠ACE=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)和矩形、菱形的判定方法，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．