Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．

（1）過B作直線MN⊥AB，P為線段OC上的一動點，AP⊥PH交直線M于點H，證明：PA＝PH．

（2）在（1）的條件下，若在點A處有一個等腰Rt△APQ繞點A旋轉，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，連接BQ，點G為BQ的中點，試猜想線段OG與線段PG的數(shù)量關系與位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OG＝PG，OG⊥PG，見解析.

【解析】

（1）利用A（0，2）、B（2，0）、C（﹣2，0），得到△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，如圖1，過點P作PG∥AB交y軸與G，則∠4＝∠6＝45°，再證明△APG≌△PHB，得到PA＝PH．

（2）OG＝PG，OG⊥PG，理由：如圖2，延長PG到R，使GR＝PG，連接PO，OR，BR，證明△PQG≌△BRG，得到PQ＝BR，∠5＝∠GBR，進而AP⊥PQ，再延長AP交BR于S，交OB于T，則AP⊥BR，證明△PAO≌△RBO，得到PO＝OR，∠1＝∠2，所以△POR為等腰直角三角形，根據(jù)PG＝GR，所以OG⊥PG，OG＝PG．

（1）∵A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．

∴OA＝OB＝OC，

∴△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，

∴∠6＝∠7＝45°，

如圖1，過點P作PG∥AB交y軸與G，則∠4＝∠6＝45°，

∴OP＝OG，

∴AO+OG＝OB+OP，

即AG＝PB，

∵AP⊥PH，

∴∠2+∠5＝90°，

∵∠1+∠5＝90°，

∴∠1＝∠2，

∵MN⊥AB，

∴∠3+∠7＝90°，

∴∠3＝45°，

∴∠3＝∠4，

在△APG和△PHB中，

，
∴△APG≌△PHB（ASA），
∴PA=PH．
（2）結論：OG=PG，OG⊥PG，

理由：如圖2，延長PG到R，使GR=PG，連接PO，OR，BR，
在△PQG和△BRG中，
，
∴△PQG≌△BRG（SAS），
∴PQ=BR，∠5=∠GBR，
∴PQ∥BR，
∵AP⊥PQ，
延長AP交BR于S，交OB于T，則AP⊥BR，
∵∠AOB=∠ASB=90°，∠ATR=∠BTS，
∴∠α=∠β，
∵PA=PQ，PQ=BR，
∴PA=BR，
在△PAO和△RBO中，
，
∴△PAO≌△RBO（SAS），
∴PO=OR，∠1=∠2，
∵∠1+∠POB=90°，
∴∠POB+∠2=90°，
∴△POR為等腰直角三角形，
∵PG=GR，
∴OG⊥PG，OG=PG．