Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，關(guān)于x的方程x²－2ax＋b²=0的兩根為x₁、x₂，x軸上兩點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐標(biāo)是(a＋c，0)；P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)

【小題1】試判斷△ABC的形狀，并說明理由
【小題2】若S_△MNP＝3S_△NOP，
①求sinB的值；
②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當(dāng)?shù)闹担�使△MND是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由

Answer 1

【小題1】證明：∵點(diǎn)
∴               1分
∴  ∴．    1分
由勾股定理的逆定理得：
為直角三角形且∠A＝90°          1分
【小題2】解：①如圖所示；
∵
∴  即       1分
又 ∴ 
∴，是方程x²－2ax＋b²＝0的兩根
∴   ∴         1分
由(1)知：在中，∠A＝90°
由勾股定理得     ∴sinB＝         1分
②能               1分
過D作DE⊥x軸于點(diǎn)   則NE＝EM   DN＝DM
要使為等腰直角三角形，只須ED＝MN＝EM
∵      ∴  
∴  又c＞0，∴c＝1               1分
由于c＝a   b＝a  ∴a＝  b＝             1分
∴當(dāng)a＝，b＝，c＝1時(shí)，為等腰直角三角形         1分

解析1）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及點(diǎn)M的坐標(biāo)得出a、b、c之間的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀；
（2）①由S_△MNP=3S_△NOP可得出MN=3ON即MO=4O，再由M點(diǎn)的坐標(biāo)可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，
可得出ab之間的關(guān)系，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出sinB的值；
②過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知NE=EM，DN=DM，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可知DE=c，根據(jù)c＞0可得出c的值，由勾股定理可求出a、b的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．