Question

如圖所示，在等邊△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、AC、上的點，DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，BE=3，則△ABC的周長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,含30度角的直角三角形

專題：

分析：由△ABC是等邊三角形和DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，推出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等邊三角形DEF，根據(jù)全等三角形性質推出三個三角形全等即可．求出AB=3BE，進一步得出答案即可．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，
∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，
∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°-90°-30°=60°，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等邊三角形，
在△ADF、△BED、△CFE中，

∠ADF=∠BED=∠CFE ∠A=∠B=∠C DF=DE=EF

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF，
∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，
∴AB=3BE=9，
∴△ABC的周長為9×3=27．
故答案為：27．

點評：此題考查了等邊三角形性質，含30度角的直角三角形性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要鍛煉學生的推理能力．