Question

10．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，點(diǎn)M在對(duì)角線BD上，點(diǎn)N為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，當(dāng)DMN是等腰三角形，線段BN的長(zhǎng)是25，40，$\frac{125}{8}$．

Answer 1

分析 分三種情形討論求解即可．

解答 解：①如圖1中，當(dāng)NM=ND時(shí)，
∴∠NDM=∠NMD，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠BDN=∠BND，
∴BD=BN=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=25．
②如圖2中，當(dāng)DM=DN時(shí)，易知M與B重合，此時(shí)BC=CN=20，BN=40，
③如圖3中，當(dāng)MN=MD時(shí)，易證BN=DN，設(shè)BN=DN=x，
在Rt△DNC中，∵DN²=CN²+CD²，
∴x²=（20-x）²+15²，
∴x=$\frac{125}{8}$，
故答案為25，40，$\frac{125}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，注意不能漏解．