Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+5交y軸于點(diǎn)A，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B及點(diǎn)C（-1，0），OB=OA．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿拋物線y=ax²+bx+5向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為m，過
點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D，設(shè)線段PD的長(zhǎng)為d（d≠0），求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，直線PD交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作AB的垂線，點(diǎn)F為垂足，當(dāng)m為何值時(shí)，有PF=

2

PE？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先利用當(dāng)x=0時(shí)，y=5，得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)直線AB解析式，進(jìn)而得出P，D坐標(biāo)，即可得出答案；
（3）分別利用當(dāng)0＜m＜1時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)E上方時(shí)，當(dāng)1＜m＜5時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)E下方時(shí)，求出m的值即可．

解答：解：（1）由y=ax²+bx+5，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，
∴A（0，5），
∴AO=5，OB=OA=5，B（-5，0），
將C，B點(diǎn)代入y=ax²+bx+5得：

0=a-b+5 0=25a-5b+5

，
解得：

a=1 b=6

．
∴拋物線解析式為：y=x²+6x+5；

（2）設(shè)直線AB對(duì)應(yīng)的直線的解析式為：y=kx+c，
∵A（0，5），B（-5，0），
∴

5=c 0=-5k+c

，
解得：

k=1 c=5

，
∴y=x+5，
由y=x²+6x+5，當(dāng)x=-m時(shí)，
y=m²-6m+5，則P（-m，m²-6m+5），
由y=x+5，當(dāng)x=-m時(shí)，y=-m+5，∴D（-m，-m+5），
d=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m，
自變量的取值范圍是：0＜m＜5；

（3）∵OA=OB=5，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵PF⊥AB，PD∥OA，
∴∠FDP=∠FPD=45°，PD=

2

PF=2PE，
如圖1，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)E上方，
PE=m²-6m+5
∴-m²+5m=2（m²-6m+5），
解得：m₁=

2

3

，m₂=5（不合題意舍去），
如圖2，當(dāng)1＜m＜5時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)E下方，
PE=-（m²-6m+5）
∴-m²+5m=-2（m²-6m+5），
解得：m₁=2，m₂=5（不合題意舍去），
綜上所述，當(dāng)m=2或m=

2

3

時(shí)，有PF=

2

PE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．