Question

已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．
（1）如圖①，當直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖②，當直線l與⊙O相交于點E，F(xiàn)時，求證：∠DAE=∠BAF．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接OC，易得OC∥AD，根據平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以證出結論；
（2）如圖②，連接BF，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性質，可求得∠AEF的度數(shù)，又由圓的內接四邊形的性質，繼而證得結論．

解答：解：（1）連接OC，
∵直線l與⊙O相切于點C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；

（2）如圖②，連接BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°-∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，
在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內接四邊形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠BAF=∠DAE．

點評：此題考查了切線的性質、圓周角定理以及圓的內接四邊形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．