Question

如圖，在△ABC中，∠B=60°．
（1）請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)分別作出∠BAC和∠BCA的平分線AD和CE，分別交BC和AB于點(diǎn)D、E，AD與CE相交于點(diǎn)F．
（2）請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，然后證明關(guān)系成立．

Answer 1

解：（1）如圖：

（2）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD，
證明如下：
過點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，
∵∠B=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∴FG=FH，
∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∠HDF=∠B+∠1
=60°+∠1
∴∠GEF=∠HDF
∴△EGF≌△DHF
∴FE=FD．

證法二：如圖，在AC上截取AG=AE，連接FG
∵∠1=∠2
AF=AF，
∴△AEF≌△AGF
∴∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG
由∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
可得∠2+∠3=60°
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°
∴∠CFG=60°
∵∠3=∠4，F(xiàn)C=FC，
∴△CFG≌△CFD
∴FG=FD
∴FE=FD
分析：（1）用基本作圖中的“作角的平分線”即可．（注意：作圖，必須用圓規(guī)）．
（2）有兩種證法：①過點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H根據(jù)題意可證明∴△EGF≌△DHF
故FE=FD；②在AC上截取AG=AE，連接FG，根據(jù)題意可證△AEF≌△AGF，從而可得FG=FD即FE=FD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定和方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形，才好解，有點(diǎn)難度．