Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，一次函數(shù) (為常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(，0)，與y軸交于點(diǎn)C．以直線x=1為對稱軸的拋物線  ( 為常數(shù)，且≠0)經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．  
（1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；  
（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；  
（3）若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點(diǎn)，過點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 ，兩點(diǎn)，試探究 是否為定值，并寫出探究過程．

Answer 1

解：（1）∵經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0）， ∴0=+m，解得m=， ∴直線解析式為，C（0，）． ∵拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1，且與x軸交于A（﹣3，0）， ∴另一交點(diǎn)為B（5，0）， 設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣5）， ∵拋物線經(jīng)過C（0，）， ∴=a3（﹣5），解得a=， ∴拋物線解析式為y=x2+x+； （2）假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形， 則AC∥EF且AC=EF． 如答圖1， （i）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E位置時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G， ∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG， 又∵， ∴△CAO≌△EFG， ∴EG=CO=，即yE=， ∴=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0與C點(diǎn)重合，舍去）， ∴E（2，），SACEF=； （ii）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E′位置時(shí)，過點(diǎn)E′作E′G′⊥x軸于點(diǎn)G′， 同理可求得E′（+1，）， SACE′F′=． （3）要使△ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可． 如答圖2，連接BC交x=1于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對稱，根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短， 可知此時(shí)AP+CP最小（AP+CP最小值為線段BC的長度）． ∵B（5，0），C（0，），∴直線BC解析式為y=x+， ∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）． 令經(jīng)過點(diǎn)P（1，3）的直線為y=kx+3﹣k， ∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+， 聯(lián)立化簡得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0， ∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3． ∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）． 根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到： M1M2=== ∴M1M2===4（1+k2）． 又M1P===； 同理M2P= ∴M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）． ∴M1PM2P=M1M2， ∴=1為定值．